Question

设点P（x，y）（y≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M（0，

1

2

）的距离比点P到x轴的距离大

1

2

．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若直线l：y=x+1与点P的轨迹相交于A、B两点，求线段AB的长；
（3）设点P的轨迹是曲线C，点Q（1，y₀）是曲线C上一点，求过点Q的曲线C的切线方程．

Answer 1

分析：（1）用直接法或定义法求得点P轨迹方程．
（2）联立y=x+1与x²=2y化简得x²-2x-2=0，把根与系数的关系代入弦长公式求出结果．
（3）曲线C即函数y=

x2

2

的图象，利用导数求得切线的斜率，点斜式求得切线的方程．

解答：解：（1）用直接法或定义法求得点P轨迹方程为x²=2y．
（2）联立y=x+1与x²=2y化简得x²-2x-2=0．  设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=2，x₁x₂=-2，
|AB|=

(1+12)[(x1+x2)2-4x1x2]

=2

6

．
（3）曲线C即函数y=

x2

2

的图象，y′=x，y′|_x=1=1，又Q（1，

1

2

），
故所求切线方程为y-

1

2

=1•（x-1）即x-y-

1

2

=0．

点评：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，求出切线的斜率是解题的关键．