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直线与椭圆相交于两点,为坐标原点.

(Ⅰ)当点的坐标为,且四边形为菱形时,求的长;

(Ⅱ)当点上且不是的顶点时,证明:四边形不可能为菱形.

 

【答案】

 利用椭圆的对称性,结合图形完成第(I)小题.设出直线方程,把直线方程和椭圆方程联立,设而不求,结合菱形的特点进行判断.

【解析】 (I) 椭圆W:的右顶点,因为四边形OABC为菱形,所以互相垂直平分.

所以可设,代入椭圆方程得,解得.

所以菱形OABC的面积为.

(II)假设四边形OABC为菱形.

因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为y=kx+m,k≠0,m≠0..

消去y并整理得.

,则

所以AC的中点.

因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为.

因为,所以AC和OB不垂直.

所以四边形OABC不是菱形,与假设矛盾.

所以当B不是W的顶点,四边形OABC不可能是菱形.

【考点定位】本题考查了椭圆的性质和直线与椭圆的位置关系.通过整体代换,设而不求,考查了数据处理能力和整体思想的应用.

 

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

以知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的两个焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0)(c>0),过点E(
a2
c
,0)
的直线与椭圆相交于A,B两点,且F1A∥F2B,|F1A|=2|F2B|.
(1)求椭圆的离心率;
(2)求直线AB的斜率;
(3)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点H(m,n)(m≠0)在△AF1C的外接圆上,求
n
m
的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•威海二模)已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为e=
6
3
,过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点,且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设点M(2,0),直线l:y=1,过M任作一条不与y轴重合的直线l1与椭圆相交于A、B两点,过AB的中点N作直线l2与y轴交于点P,D为N在直线l上的射影,若|ND|、
1
2
|AB|
、|MP|成等比数列,求直线l2的斜率的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),过点E(
a2
c
,0)的直线与椭圆相交于点A,B两点,且F1∥F2B,|F1A|=2|F2B|
(Ⅰ)求椭圆的离心率
(Ⅱ)直线AB的斜率.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)在平面直角坐标系中,已知焦距为4的椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a>b>0)
的左、右顶点分别为A、B,椭圆C的右焦点为F,过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S,若线段RS的长为
10
3

(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C上存在两个不同的点关于直线l:y=9x+m对称,求实数m的取值范围.
(3)若P为椭圆C在第一象限的动点,过点P作圆x2+y2=5的两条切线PA、PB,切点为A、B,直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N,求△MON(O为坐标原点)面积的最小值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(13分)设直线与椭圆相交于两个不同的点,与轴相交于点

(1)证明:

(2)若是椭圆的一个焦点,且,求椭圆的方程。

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