Question

（选修4-1）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以BC为直径的圆O交AC于点D，设E为AB的中点． 
（I）求证：直线DE为圆O的切线；
（Ⅱ）设CE交圆O于点F，求证：CD•CA=CF•CE
（选修4-4）在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为

x=4cosθ y=4sinθ

（θ为参数），直线l经过点p（2，2），倾斜角a=

π

3

．
（I）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|-|PB|的值．
（选修4-5）已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a
（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（选修4-1）（Ⅰ）利用条件、等腰三角形的性质求得∠EDO=∠EDB+∠ODB=∠EBD+∠OBD=90°，可得直线DE为圆O的切线．
（Ⅱ）连接DF，则有∠DFC=∠DBC，证明 D、A、E、F四点共圆，可得 CD•CA=CF•CE．
（选修4-4）（Ⅰ）把圆的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为标准方程．把直线l的参数方程消去参数，化为直角坐标方程．
（Ⅱ）把直线的方程代入圆的方程，利用根与系数的关系以及参数的几何意义求得|PA|•|PB|的值．
（选修4-5）（Ⅰ）当 a=0 时，由f（x）≥g（x） 得|2x+1|≥x，两边平方整理得 3x²+4x+1≥0，解此一元二次不等式求得x的范围，即为所求．
（Ⅱ）由 f（x）≤g（x） 得 a≥|2x+1|-|x|，令h（x）=|2x+1|-|x|，求得 h（x）的最小值，即可求得实数a的取值范围．

解答：（选修4-1）（Ⅰ）证明：连接BD、OD，在Rt△ABD中，DE=

AB

2

=BE，则在等腰三角形EBD中，∠EBD=∠EDB．
在等腰三角形OBD中，∠OBD=∠ODB，可得∠EDO=∠EDB+∠ODB=∠EBD+∠OBD=90°，
即直线DE为圆O的切线．


（Ⅱ）连接DF，则有∠DFC=∠DBC，
又因为∠A=∠DBC，可得∠A=∠DFC，则有 D、A、E、F四点共圆．
因此得到CD•CA=CF•CE．
（选修4-4）解：（Ⅰ）圆的标准方程为 x²+y²=16，
直线l的参数方程为

x=2+tcos π 3 y=2+tsin π 3

，即

x=2+ 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t为参数）．
（Ⅱ）把直线的方程

x=2+ 1 2 t y=2+ 3 2 t

 代入 x²+y²=16，
得 (2+

t

2

)2+(2+

3 t

2

)2=16，t²+2（

3

+1）t-8=0．
所以 t₁•t₂=-8，即|PA|•|PB|=8．
（选修4-5）解：（Ⅰ）当 a=0 时，由f（x）≥g（x） 得|2x+1|≥x，
两边平方整理得 3x²+4x+1≥0，
解之得x≤-1，或 x≥-

1

3

，∴原不等式的解集为（-∞，-1]∪[-

1

3

，+∞）．
（Ⅱ）由 f（x）≤g（x） 得 a≥|2x+1|-|x|，
令h（x）=|2x+1|-|x|，则 h（x）=

-x-1  ， x ≤- 1 2 3x+1  ， - 1 2 ＜x＜0 x+1  ， x ≥0

，∴h（x） 的最小值为h（-

1

2

）=-

1

2

，
从而所求实数 a的范围为[-

1

2

，+∞）．

点评：本题主要考查圆的参数方程、圆的切线方程、与圆有关的比例线段，绝对值不等式的解法，属于中档题．