Question

如图，三角形PAB是半圆锥PO的一个轴截面，PO=1，AB=2，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，且与圆锥PO的底面共面．
（Ⅰ）若H为圆锥PO的底面半圆周上的一点，且BH∥OC，连AH，证明：AH⊥PC；
（Ⅱ）在圆锥PO的底面半圆周上确定点G的位置，使母线PG与平面PCD所成角的正弦值为

10

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过H为圆锥PO的底面半圆周上的一点，且BH∥OC，连AH，通过证明PO⊥平面ABCD，说明PO⊥AH利用直线与平面垂直的判定定理证明：AH⊥PC；
（Ⅱ）以O为原点，OA方向为x轴，OP方向为z轴建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，设出平面PCD的一个法向量

n

，利用

PG • n

| PG || n |

，就是母线PG与平面PCD所成角的正弦值为

10

4

，求出G的坐标即可．

解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）证明：因为H为圆锥PO的底面圆周上的一点，∴AH⊥BH，
又∵BH∥OC，
∴AH⊥OC…（2分）
因为PO⊥平面ABCD，AH?平面ABCD∴PO⊥AH，
∵PO∩OC=O，∴AH⊥平面PCO，…（4分）
∵PC?平面PCO，∴AH⊥PC…（5分）
（Ⅱ）以O为原点，OA方向为x轴，OP方向为z轴建立空间直角坐标系，…（6分）
则P（0，0，1），D（1，-2，0），C（-1，-2，0），

PD

=(1，-2，-1)，

PC

=(-1，-2，-1)，…（7分）
设平面PCD的一个法向量为

n

=(x，y，z)，则由

PD • n =0 PC • n =0

得

x-2y-z=0 -x-2y-z=0

，
取y=1得平面PCD的一个法向量为

n

=(0，1，-2)；…（9分）
∵G为圆锥PO的底面圆周上的一点，可设G（cosθ，sinθ，0），θ∈[0，π]

PG

=（cosθ，sinθ，-1），依题意得

PG • n

| PG || n |

=

sinθ+2

2 • 5

=

10

4

，…（11分）
解得sinθ=

1

2

，cosθ=±

3

2

，
∴点G的坐标为（±

3

2

，

1

2

，0）  …（13分）

点评：本题考查空间几何体中直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面设出角的求法，空间向量的数量积的应用，考查逻辑推理能力与计算能力．