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    （2012•虹口区三模）已知数列{an}满足a1=2，an+1=2(1+
    1
    n
    )2an    ．
    （1）令bn=
    an
    n2
    ，求数列{bn}和{an}的通项公式；
    （2）设cn=(An2+Bn+C)•2n，试推断是否存在常数A，B，C，使对一切n∈N*都有an=cn+1-cn成立？若存在，求出A，B，C的值；若不存在，说明理由；
    （3）对（2）中数列{cn}，设dn=
    an
    cn
    ，求{dn}的最小项的值．
    分析：（1）由条件，可得
    an+1
    (n+1)2
    =2•
    an
    n2
    ，从而可得{bn}是公比为2的等比数列，由此可求数列{bn}和{an}的通项公式；
    （2）根据cn=(An2+Bn+C)•2n，作差，根据an=cn+1-cn恒成立，可得An2+（4A+B）n+2A+2B+C=n2恒成立，由此可求A，B，C的值；                          
    （3）由dn=
    n2
    n2-4n+6
    =
    1
    6
    n2
    -
    4
    n
    +1
    ，令t=
    1
    n
    ∈(0，1]    ，利用配方法，即可求得结论．
    解答：解：（1）由已知得
    an+1
    (n+1)2
    =2•
    an
    n2
    ，∴{bn}是公比为2的等比数列，
    ∵b1=2，∴bn=2•2n-1=2n
    由bn=
    an
    n2
    =2•2n-1=2n    ，得an=2n•n2
    （2）∵cn=(An2+Bn+C)•2n，
    ∴cn+1-cn=[A(n+1)2+B(n+1)+C]•2n+1-(An2+Bn+C)•2n=[An2+（4A+B）n+2A+2B+C]•2n
    若an=cn+1-cn恒成立，则An2+（4A+B）n+2A+2B+C=n2恒成立，
    ∴
    A=1
    4A+B=0
    2A+2B+C=0
    ，∴A=1，B=-4，C=6
    故存在常数A=1，B=-4，C=6满足条件                              
    （3）dn=
    n2
    n2-4n+6
    =
    1
    6
    n2
    -
    4
    n
    +1
    ，令t=
    1
    n
    ∈(0，1]
    则
    6
    n2
    -
    4
    n
    +1=6t2-4t+1    =6(t-
    1
    3
    )2+
    1
    3

    ∵t∈（0，1]，∴t=1时，
    6
    n2
    -
    4
    n
    +1=6t2-4t+1    的最大值为3
    ∴{dn}的最小项的值为
    1
    3
    点评：本题考查等比数列的证明，考查恒等式，考查求函数的最值，正确利用数列通项是关键．
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    1
    a
    ＞
    1
    b
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