Question

17．在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程是ρcosθ+ρsinθ=1，曲线D的参数方程是：$\left\{\begin{array}{l}{x=2-cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．
（1）求曲线C与曲线D的直角坐标方程；
（2）若曲线C与曲线D相交于A、B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）根据公式ρ•cosθ=x，ρ•sinθ=y求出曲线C的直角坐标方程，根据$\left\{\begin{array}{l}{cosα=2-x}\\{sinα=y}\\{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α=1}\end{array}\right.$得出曲线D的直角坐标方程；
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得出A，B两点坐标，用两点间距离公式求出|AB|．

解答 解：（1）∵ρ•cosθ=x，ρ•sinθ=y，
∴曲线C的直角坐标方程为：x+y-1=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{cosα=2-x}\\{sinα=y}\\{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α=1}\end{array}\right.$得曲线D的直角坐标方程为（x-2）²+y²=1；      
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得交点A、B的坐标为（1，0），（2，-1）
故|AB|=$\sqrt{（1-2）^{2}+（0+1）^{2}}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了直角坐标和极坐标的互化，考查了参数方程化成普通方程，考查了两点间距离公式，属于基础题．