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10.已知函数f(x)=lnx-x+1.
(1)求函数f(x)的图象在点x=2处的切线方程;
(2)设g(x)=$\frac{{x}^{2}+2kx+k}{x}$(k>0),对?x1∈(0,+∞),?x2∈(-∞,0),使得f(x1)≤g(x2)成立,求k的取值范围;
(3)设bn=$\frac{f(n+1)+n}{{n}^{3}}$,证明:$\sum_{i=2}^{n}$bi<1(n≥2,n∈N+).

分析 (1)求导数,确定切线的斜率,即可求函数f(x)的图象在点x=2处的切线方程;
(2)对?x1∈(0,+∞),?x2∈(-∞,0)使得f (x1)≤g(x2)成立,只须f (x)max≤g(x)max
(3)证明n≥2,ln(n+1)<n,可得$\frac{ln(n+1)}{{n}^{2}}$<$\frac{1}{{n}^{2}}$<$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$,即可证明结论.

解答 解:(1)函数的定义域为(0,+∞).
由已知得:f′(x)=$\frac{1}{x}$-1,f′(2)=-$\frac{1}{2}$,
∵f(2)=ln2-1,
∴函数f(x)的图象在点x=2处的切线方程是y-ln2+1=-$\frac{1}{2}$(x-2),即$\frac{1}{2}$x+y-ln2=0;
(2)当x∈(0,1)时,f′(x)>0,f (x)为增函数,
当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f (x)为减函数,
即f (x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).  
∴x1∈(0,+∞),f (x1)≤f (1)=0,即f (x1)的最大值为0,
由题意知:对?x1∈(0,+∞),?x2∈(-∞,0)使得f (x1)≤g(x2)成立,
只须f (x)max≤g(x)max
∵g(x)=$\frac{{x}^{2}+2kx+k}{x}$=x+$\frac{k}{x}$+2k=-(-x+$\frac{k}{-x}$)+2k≤-2$\sqrt{k}$+2k,∴只须-2$\sqrt{k}$+2k≥0,解得k≥1.
故k的取值范围[1,+∞).
(3)bn=$\frac{f(n+1)+n}{{n}^{3}}$=$\frac{ln(n+1)}{{n}^{3}}$.
f (x)=lnx-x+1≤f(1)=0,即lnx≤x-1,
∴n≥2时,ln(n+1)<n,
∴$\frac{ln(n+1)}{{n}^{2}}$<$\frac{1}{{n}^{2}}$<$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$.
∴n≥2时,$\sum_{i=2}^{n}$bi<1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=1-$\frac{1}{n}$<1

点评 本题考查导数知识的综合运用,考查导数的几何意义,考查函数的最大值,考查不等式的证明,知识综合性强.

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