Question

10．定义：称$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{2}+…+{p}_{n}}$为n个正数p₁，p₂，…，p_n的“均倒数”，已知数列{a_n}的前n项的“均倒数”为$\frac{1}{n+2}$．
（1）求{a_n}的通项公式
（2）设C_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}的前项和为S_n=n（n+2），由此能求出{a_n}的通项公式．
（2）由C_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项的“均倒数”为$\frac{1}{n+2}$，
∴根据题意得数列{a_n}的前项和为：S_n=n（n+2），
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（n+2）-（n-1）（n-2）=2n+1，
n=1时，a₁=S₁=3适合上式，
∴a_n=2n+1．
（2）由（1）得C_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$，
∴${S}_{n}=\frac{3}{3}+\frac{5}{{3}^{2}}+\frac{7}{{3}^{3}}+…+$$\frac{2n-1}{{3}^{n-1}}+\frac{2n+1}{{3}^{n}}$，①
3S_n=$\frac{3}{1}+\frac{5}{3}+\frac{7}{{3}^{2}}+…+\frac{2n-1}{{3}^{n-2}}+\frac{2n+1}{{3}^{n-1}}$，②
②-①，得：2S_n=3+$\frac{2}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}+…+\frac{2}{{3}^{n-1}}-\frac{2n+1}{{3}^{n}}$
=3+$\frac{\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}-\frac{2n+1}{{3}^{n}}$
=$4-\frac{2n+4}{{3}^{n}}$，
∴S_n=2-$\frac{n+2}{{3}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．