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10.定义:称$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{2}+…+{p}_{n}}$为n个正数p1,p2,…,pn的“均倒数”,已知数列{an}的前n项的“均倒数”为$\frac{1}{n+2}$.
(1)求{an}的通项公式
(2)设Cn=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$,求数列{cn}的前n项和Sn

分析 (1)数列{an}的前项和为Sn=n(n+2),由此能求出{an}的通项公式.
(2)由Cn=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$,利用错位相减法能求出数列{cn}的前n项和Sn

解答 解:(1)∵数列{an}的前n项的“均倒数”为$\frac{1}{n+2}$,
∴根据题意得数列{an}的前项和为:Sn=n(n+2),
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(n+2)-(n-1)(n-2)=2n+1,
n=1时,a1=S1=3适合上式,
∴an=2n+1.
(2)由(1)得Cn=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$,
∴${S}_{n}=\frac{3}{3}+\frac{5}{{3}^{2}}+\frac{7}{{3}^{3}}+…+$$\frac{2n-1}{{3}^{n-1}}+\frac{2n+1}{{3}^{n}}$,①
3Sn=$\frac{3}{1}+\frac{5}{3}+\frac{7}{{3}^{2}}+…+\frac{2n-1}{{3}^{n-2}}+\frac{2n+1}{{3}^{n-1}}$,②
②-①,得:2Sn=3+$\frac{2}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}+…+\frac{2}{{3}^{n-1}}-\frac{2n+1}{{3}^{n}}$
=3+$\frac{\frac{2}{3}(1-\frac{1}{{3}^{n-1}})}{1-\frac{1}{3}}-\frac{2n+1}{{3}^{n}}$
=$4-\frac{2n+4}{{3}^{n}}$,
∴Sn=2-$\frac{n+2}{{3}^{n}}$.

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意错位相减法的合理运用.

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