Question

已知定义在区间[0，1]上的函数y=f（x）的图象如图所示，对于满足0＜x₁＜x₂＜1的任意x₁，x₂，给出下列结论：
①f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁；
②[f（x₂）-f（x₁）]•（x₂-x₁）＜0；
③x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）；
④

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)．
其中正确的结论的序号是

 

．

Answer 1

分析：根据题意可作出函数y=f（x）的图象，利用直线的斜率的几何意义，利用数形结合的思想研究函数的单调性与最值即可得到答案．

解答：解：由函数y=f（x）的图象可得，
当0＜x₁＜x₂＜1时，0＜f（x₁）＜f（x₂）＜1，
[f（x₂）-f（x₁）]•（x₂-x₁）＞0，故②错误；
函数y=f（x）在区间[0，1]上的图象如下：


对于①设曲线y=f（x）上两点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），直线AB的斜率k_AB=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜k_op=1，
∴f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁，故①错误；
对于③，由图可知，k_oA＞k_oB，即

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

，0＜x₁＜x₂＜1，于是有x₂f（x₁）＞x₁f（x₂），故③正确；
对于④，设AB的中点为R，则R（

x1+x2

2

，

f(x1)+f(x2)

2

），

AB

的中点为S，则S（

x1+x2

2

，f(

x1+x2

2

)），
显然有

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)，即④正确．
综上所述，正确的结论的序号是③④．

点评：本题考查函数的图象，着重考查直线的斜率的几何意义，考察函数的单调性，突出考查作图象的能力与数形结合解决问题的能力，属于中档题．