Question

（2012•邯郸一模）已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，AE=BE=

2

，O为AB的中点．
（Ⅰ）求证：EO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求点D到面AEC的距离．

Answer 1

分析：（I）连接CO，利用△AEB为等腰直角三角形，证明EO⊥AB，利用勾股定理，证明EO⊥CO，利用线面垂直的判定，可得EO⊥平面ABCD；
（II）利用等体积，即V_D-AEC=V_E-ADC，从而可求点D到面AEC的距离．

解答：（I）证明：连接CO
∵AE=EB=

2

，AB=2
∴△AEB为等腰直角三角形
∵O为AB的中点，∴EO⊥AB，EO=1…（2分）
又∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ACB是等边三角形
∴CO=

3

，…（4分）
又EC=2，∴EC²=EO²+CO²，
∴EO⊥CO，
∵AB∩CO=O
∴EO⊥平面ABCD…（6分）
（II）解：设点D到面AEC的距离为h
∵AE=

2

，AC=EC=2
∴S△AEC=

7

2

…（8分）
∵S△ADC=

3

，E到面ACB的距离EO=1，V_D-AEC=V_E-ADC
∴S_△AEC•h=S_△ADC•EO…（10分）
∴h=

2 21

7

∴点D到面AEC的距离为

2 21

7

…（12分）

点评：本题考查线面垂直，考查点到面距离的计算，解题的关键是掌握线面垂直的判定方法，考查等体积的运用，属于中档题．