Question

已知圆O：x²+y²=4，直线l1：

3

x+y-2

3

=0与圆O相交于A，B两点，且A点在第一象限．
（1）求|AB|；
（2）设P（x₀，y₀）（x₀≠±1）是圆O上的一个动点，点P关于原点的对称点为P₁，点P关于x轴的对称点为P₂，如果直线AP₁，AP₂与y轴分别交于（0，m）和（0，n）．问m•n是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出圆心O到直线的距离d，再根据弦长公式求得弦长．
（2）解方程组求得A 的坐标，设 P

x0，y0

 （x₀≠±1），求得P₁、P₂的坐标，再根据AP₁的方程求得m的值，根据AP₂的方程求得n的值，从而求得m•n的值．

解答：解：（1）由于圆心O（0，0）到直线

3

x+y-2

3

=0的距离d=

3

，
圆的半径r=2，∴|AB|=2

r2-d2

=2．
（2）是定值，理由如下
解方程组

3 x+y-2 3 =0 x2+y2=4

，可得 A(1，

3

)，
设 P

x0，y0

 （x₀≠±1），则 P1

-x0，-y0

，P2

x0，-y0

，

x

2 0

+

y

2 0

=4，
由AP₁：y-

3

=

3 +y0

1+x0

(x-1)，令x=0，得m=

3 x0-y0

1+x0

．
由AP₂：y-

3

=

3 +y0

1-x0

(x-1)，令x=0，得n=

- 3 x0-y0

1-x0

．
∴m•n=

3 x0-y0

1+x0

•

- 3 x0-y0

1-x0

=

-4( x 2 0 -1)

1- x 2 0

=4．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，求一个点关于直线的对称点的坐标的方法，属于中档题．