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已知定义在I上的函数f(x)的导函数为f'(x),满足0<f'(x)<2且f'(x)≠1,常数C1是方程f(x)-x=0的实根,常数C2是方程f(x)-2x=0的实根.
(1)若对任意[a,b]⊆I,存在xo∈(a,b)使等式
f(b)-f(a)
b-a
=f′(x0)
成立.证明:方程f(x)-x=0有且只有一个实根;
(2)求证:当x>c2时,总有f(x)<2x;
(3)若|x1-c1|<1,|x2-c1|<1,求证:|f(x1)-f(x2)|<4.
证明:(1)假设存在另一根m(m≠c1)即f(m)=m,f(c1)=c1,则
f(m)-f(c1)
m-c1
=
m-c1
m-c1
=1,与
f(m)-f(c1)
m-c1
=f’(x0)≠1矛盾,所以假设错误,原命题结论正确.
(2)设F(x)=f(x)-2x,则F’(x)=f’(x)-2<0,∴F(x)在(c2,+∞)单调递减,
∴F(x)<F(c2)=f(c2)-2c2=0∴f(x)<2x
(3)不妨设x1≤x2,①当x1=x2时,显然成立.
②当x1<x2时,由(Ⅱ)知f(x1)-2x1>f(x2)-2x2,∴f(x1)-f(x2)>2x1-2x2
又∵f’(x)>0,∴f(x2)-f(x1)>0
∴|f(x2)-f(x1)|<2|x2-x1|=2|x2-c1-(x1-c1)|≤2|x2-c1|+2|x1-c1|≤2+2=4,
所以|f(x2)-f(x1)|≤4.
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(1)若对任意[a,b]⊆I,存在xo∈(a,b)使等式
f(b)-f(a)b-a
=f′(x0)
成立.证明:方程f(x)-x=0有且只有一个实根;
(2)求证:当x>c2时,总有f(x)<2x;
(3)若|x1-c1|<1,|x2-c1|<1,求证:|f(x1)-f(x2)|<4.

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1
2
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π
3
-x),f(x-π)=f(x+π).
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6
π
6
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已知定义在I上的函数f(x)的导函数为f'(x),满足0<f'(x)<2且f'(x)≠1,常数C1是方程f(x)-x=0的实根,常数C2是方程f(x)-2x=0的实根.
(1)若对任意[a,b]⊆I,存在xo∈(a,b)使等式成立.证明:方程f(x)-x=0有且只有一个实根;
(2)求证:当x>c2时,总有f(x)<2x;
(3)若|x1-c1|<1,|x2-c1|<1,求证:|f(x1)-f(x2)|<4.

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