Question

3．判断函数$f（x）=\frac{{\sqrt{{x^2}+1}-1}}{{\sqrt{{x^2}+1}+1}}$的奇偶性并证明．

Answer 1

分析 可以看出该函数的定义域为R，为偶函数，根据偶函数的定义证明：求f（-x）=f（x）即可得证．

解答 解：此函数在R上为偶函数，证明如下：
函数的定义域为R；
∵$f（{-x}）=\frac{{\sqrt{{{（{-x}）}^2}+1}-1}}{{\sqrt{{{（{-x}）}^2}+1}+1}}=\frac{{\sqrt{{x^2}+1}-1}}{{\sqrt{{x^2}+1}+1}}=f（x）$；
∴f（x）在R上为偶函数．

点评 考查函数奇偶性的定义，以及根据偶函数的定义证明一函数为偶函数的方法和过程：求定义域，求f（-x）．