Question

地球上最著名的几何物体莫过于埃及的吉沙（Giza）大金字塔，它的形状是正四棱锥．有着奇妙神秘的走道设计，以及神秘的密室．已知它的高度的2倍的平方等于它的侧面积．则侧面与底面所成的二面角的余弦值为

 

．（精确到0.001）

Answer 1

分析：设出大金字塔的底面棱长为2a，高为h，根据正四棱锥的结构特征表达出侧面积与高的关系，即可得到

h2

a2

=

1+ 5

2

，再利用a与h表示出侧面与底面所成的二面角的余弦值，进而即可得到答案．

解答：解：设大金字塔的底面棱长为2a，高为h，如图所示
取BC的中点为H，O为正方形的中心，连接SO，OH，SH，
在正四棱锥中，SH⊥BC，OH⊥BC，所以∠SHO是侧面与底面所成的二面角．
则由题意可得其侧高SH=

a2+h2

，
因为它的高度的2倍的平方等于它的侧面积，即4×

1

2

×2a×

a2+h2

=4h²，
所以整理可得h⁴-a²h²-a⁴=0，即

h2

a2

=

1+ 5

2

．
所以在△SOH中，cos∠SHO=

OH

SH

=

a

a2+h2

=

1

1+ h2 a2

≈0.618．
故答案为0.618．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，根据其特征得到线段的关系并且表示出二面角的余弦，结合正确的运算进而解决问题．