Question

设直线l₁：y=k₁x+1，l₂：y=k₂x-1，其中实数k₁，k₂满足k₁k₂+1=0．
（Ⅰ）证明：直线l₁与l₂相交；
（Ⅱ）证明：直线l₁与l₂的交点在圆x²+y²=1上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）假设l₁与l₂平行，有k₁=k₂，代入k₁k₂+1=0，得k12+1=0，这与k₁为实数的事实相矛盾，故l₁与l₂相交．
（Ⅱ）直线l₁与l₂的交点P（x，y）满足

y-1=k1x y+1=k2x

，x≠0，从而

k1= y-1 x k2= y+1 x

，代入k₁k₂+1=0，得

y-1

x

•

y+1

x

+1=0，由此能够证明直线l₁与l₂的交点在圆x²+y²=1上．

解答：解：（Ⅰ）反证法：假设l₁与l₂不相交，
则l₁与l₂平行，有k₁=k₂，
代入k₁k₂+1=0，得k12+1=0，
这与k₁为实数的事实相矛盾，
∴k₁≠k₂，
故l₁与l₂相交．
（Ⅱ）直线l₁与l₂的交点P（x，y）满足

y-1=k1x y+1=k2x

，
∴x≠0，从而

k1= y-1 x k2= y+1 x

，
代入k₁k₂+1=0，得

y-1

x

•

y+1

x

+1=0，
整理，得x²+y²=1，
∴直线l₁与l₂的交点在圆x²+y²=1上．

点评：本题考查直线相交的证明，考查两直线的交点在圆上的证明．解题时认真审题，注意反证法的合理运用．