Question

17．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）和圆O：x²+y²=a²，F₁（-1，0），F₂（1，0）分别是椭圆的左、右两焦点，过F₁且倾斜角为α$（{α∈（{0，\frac{π}{2}}]}）$的动直线l交椭圆C于A，B两点，交圆O于P，Q两点（如图所示，点A在x轴上方）．当α=$\frac{π}{4}$时，弦PQ的长为$\sqrt{14}$． 
（1）求圆O与椭圆C的方程；
（2）若2|BF₂|=|AF₂|+|AB|，求直线PQ的方程．

Answer 1

分析 （1）取PQ的中点D，连接OD，OP，求出OD，利用弦PQ的长为$\sqrt{14}$，求出OQ，可得a，结合隐含条件求得b，则圆O和椭圆C的方程可求；
（2）由（1）可得椭圆的长半轴长及离心率，设B的坐标，利用焦半径公式可得|BF₂|，|AF₂|，代入2|BF₂|=|AF₂|+|AB|，求出B的坐标，由直线方程的两点式求得B、F₁所在直线方程，即直线PQ的方程．

解答 解：（1）取PQ的中点D，连接OD，OP，
由$α=\frac{π}{4}$，c=1，可得OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵弦PQ的长为$\sqrt{14}$，
∴$O{Q}^{2}=\frac{P{Q}^{2}}{4}$+OD²=4，
∴a²=4，b²=a²-c²=3，
∴圆O的方程为x²+y²=4，
椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由（1）知，a=2，e=$\frac{1}{2}$，
又2|BF₂|=|AF₂|+|AB|，得2|BF₂|=|AF₂|+|AF₁|+|BF₁|，
∴2|BF₂|=4+|BF₁|，
设B（x₀，y₀），则|BF₂|=$2-\frac{1}{2}{x}_{0}$，|BF₁|=$2+\frac{1}{2}{x}_{0}$，
代入2|BF₂|=4+|BF₁|，得$2（2-\frac{1}{2}{x}_{0}）=4+2+\frac{1}{2}{x}_{0}$，解得${x}_{0}=-\frac{4}{3}$，
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，得${y}_{0}=-\frac{\sqrt{15}}{3}$．
∴B（$-\frac{4}{3}，-\frac{\sqrt{15}}{3}$），
则直线PQ的方程为：$\frac{y}{-\frac{\sqrt{15}}{3}}=\frac{x+1}{-\frac{4}{3}+1}$，即$\sqrt{15}x-y+\sqrt{15}=0$．

点评 本题考查圆和椭圆的方程，考查等差数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．