Question

已知f（x）是偶函数，且在（-∞，0]上单调递减，对任意x∈R，x≠0，都有f(x)+f(

1

x

)=-1+2log2(x2+

1

x2

)．
（Ⅰ）指出f（x）在[0，+∞）上的单调性（不要求证明），并求f（1）的值；
（Ⅱ）k为常数，-1＜k＜1，解关于x的不等式f(

kx+3

x2+9

)＞

1

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用偶函数的图象特点判断出f（x）在[0，+∞）上的单调性；再利用赋值法把1代入即可求出f（1）的值；
（Ⅱ）利用偶函数的性质以及f（1）的值，可以先把f(

kx+3

x2+9

)＞

1

2

转化为f(

|kx+3|

x2+9

)＞f(1)，进而得到，

|kx+3|

x2+9

＞1⇒（1-k²）x²-6kx＜0；再对二此项系数进行讨论即可解不等式．

解答：解：（Ⅰ）f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∵f(x)+f(

1

x

)=-1+2log2(x2+

1

x2

)，
∴f（1）+f（1）=-1+2log₂（1+1）=1，
∴f(1)=

1

2

．
（Ⅱ）因为f（x）是偶函数，所以f(

kx+3

x2+9

)=f(

|kx+3|

x2+9

)，
不等式就是f(

|kx+3|

x2+9

)＞f(1)，∵f（x）在[0，+∞）上递增，∴

|kx+3|

x2+9

＞1∴|kx+3|＞

x2+9

，
k²x²+6kx+9＞x²+9．∴（1-k²）x²-6kx＜0，
①若k=0，则x²＜0，∴不等式解集为?；
②若-1＜k＜0，则

6k

1-k2

＜x＜0，∴不等式解集为(

6k

1-k2

，0)；
③若0＜k＜1，则0＜x＜

6k

1-k2

，∴不等式解集为(0，

6k

1-k2

)．

点评：本题主要考查函数单调性和奇偶性的综合应用问题．偶函数的图象特点是在关于原点对称的区间上单调性相反；而奇函数的图象特点是在关于原点对称的区间上单调性相同．