Question

定义在R上的函数f（x）满足：对任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）•f（b），且f（1）=3．
（1）求f（0），f（-1）的值；
（2）若当x＞0时，有f（x）＞1，判断函数f（x）的单调性，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）令b=0，可求f（0）；令a=1，b=-1，可求f（-1）；
（2）确定f(-x)=

1

f(x)

，证明当x＞0时，有f（x）＞1，利用单调性的定义，即可得出结论．

解答：解：（1）令b=0，则f（a）=f（a）•f（0），所以f（0）=1．
令a=1，b=-1，则f（0）=f（1-1）=f（1）•f（-1），则f(-1)=

1

2

．
（2）令a=x，b=-x，则f（0）=f（x-x）=f（x）•f（-x），则f(-x)=

1

f(x)

．
因为当x＞0时，有f（x）＞1，所以对于x∈R，f（x）＞0，又当x＞0时，有f（x）＞1．
设任意实数x₁＞x₂，

f(x1)

f(x2)

=f(x1-x2)＞1，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）是R上的增函数．

点评：本题考查赋值法的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．