Question

【题目】已知集合．对于， ，定义与之间的距离为．

（Ⅰ）写出中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；

（Ⅱ）若集合满足： ，且任意两元素间的距离均为2，求集合中元素个数的最大值并写出此时的集合；

（Ⅲ）设集合， 中有个元素，记中所有两元素间的距离的平均值为，证明．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：

(1)在新定义的 中令 ，结合集合的定义求得 并求解“距离”的最大值即可；

(2)数形结合，将问题转化为正方体在空间直角坐标系中的坐标，利用几何关系处理该问题使得问题更加简单明了；

(3)利用题意结合排列组合的知识处理 的式子，然后结合组合数和不等式的性质进行放缩即可证得结论.

试题解析：

（Ⅰ）， ， ．

（Ⅱ）中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以

或，

集合中元素个数最大值为4．

（Ⅲ），其中表示中所有两个元素间距离的总和．

设中所有元素的第个位置的数字中共有个1， 个0，则

由于

所以

从而