Question

已知函数f(x)=

a+lnx

x

(a∈R)．
（Ⅰ）若a=4，求曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的极值；
（Ⅲ）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e²]上有公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求直线方程一般用点斜式，本题中已知切点，故可以根据导数的几何意义，求出该点的导数值，即得曲线在此点处的切线的斜率，然后用点斜式写出切线方程即可
（Ⅱ）求出函数f(x)=

a+lnx

x

(a∈R)的导函数，令导数大于0解出增区间，令导数小于0，解出函数的减区间，然后由极值判断规则确定出极值即可．
（Ⅲ）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e²]上有公共点，即在区间（0，e²]上，函数f（x）存在自变量取某个值时，函数值等于1，故问题可以转化为求出函数f（x）最值，保证函数的最大值大于等于1，最小值小于等于1即可得到关于参数a的不等式，解之即得．

解答：解：（Ⅰ）∵a=4，
∴f(x)=

lnx+4

x

且f(e)=

5

e

．（1分）
又∵f′(x)=

(lnx+4)′x-(lnx+4)x′

x2

=

-3-lnx

x2

，
∴f′(e)=

-3-lne

e2

=-

4

e2

．（3分）
∴f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为：y-

5

e

=-

4

e2

(x-e)，
即4x+e²y-9e=0．（4分）
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

1-(lnx+a)

x2

，（5分）
令f'（x）=0得x=e^1-a．
当x∈（0，e^1-a）时，f'（x）＞0，f（x）是增函数；
当x∈（e^1-a，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数；（7分）
∴f（x）在x=e^1-a处取得极大值，即f（x）_极大值=f（e^1-a）=e^a-1．（8分）
（Ⅲ）（i）当e^1-a＜e²，即a＞-1时，
由（Ⅱ）知f（x）在（0，e^1-a）上是增函数，在（e^1-a，e²]上是减函数，
∴当x=e^1-a时，f（x）取得最大值，即f（x）_max=e^a-1．
又当x=e^-a时，f（x）=0，当x∈（0，e^-a]时，f（x）＜0，
当x∈（e^-a，e²]时，f（x）∈（0，e^a-1]，
所以，f（x）的图象与g（x）=1的图象在（0，e²]上有公共点，
等价于e^a-1≥1，解得a≥1，
又因为a＞-1，所以a≥1．（11分）
（ii）当e^1-a≥e²，即a≤-1时，f（x）在（0，e²]上是增函数，
∴f（x）在（0，e²]上的最大值为f(e2)=

2+a

e2

，
∴原问题等价于

2+a

e2

≥1，解得a≥e²-2，
又∵a≤-1∴无解
综上，a的取值范围是a≥1．（14分）

点评：本题考点是利用导数研究函数极值，考查了用导数研究函数的单调性以及借助单调性确定函数的极值、最值的位置，解决与极值、最值有关的一些问题，本题综合性较强，涉及到的知识与运算规则较多，题目难度较大，做题时要注意体会本题的这些特点．