Question

【题目】已知函数.

（I）讨论函数的单调性；

（II）若存在两个极值点，求证：.

Answer 1

【答案】（I）见解析；（II）见解析

【解析】

（I），讨论k,确定的正负即可求其单调性；（II）由（I）存在两个极值点，，得，且，整理，证明 ，即可得解

（I）由题意得，函数的定义域为，.

当时，在上恒成立，则在上单调递增；

当时，若，即时，在上恒成立，

则在上单调递增；若，即时，

令，解得 ，

令，解得或，令，解得，

在和上单调递增，

在上单调递减.

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，

在上单调递减.

（II）由（I）得，若存在两个极值点，，则，且，

则 .

下面先证明：设，则，

易得在上单调递增，在上单调递减，

， ，即.

，

又由（I）得在区间上单调递减，.