【题目】已知函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性.
(Ⅱ)若时,存在两个正实数满足,求证:
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析.
【解析】
(I)对 求导,得,令,对,,进行分类讨论,得的单调性即可;
(II)存在两个正数m,n使得成立,转化为,令对求导,得在上单调递减,在上单调递增;所以在取得最小值为 ,得出,计算即可得出结论.
(I)依题意,可知
对于函数,
当,即时,此时函数在上单调递增.
当,即时,函数有两个零点,且,其中
若,则,当时,;当时,
当时,,
若,则,当时,;当时,.
综上所述,当时,函数在上单调递增;当时,函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;当时,函数在上单调递减,在上单调递增.
(II) 当a=4时,存在两个正数m,n使得成立,则,所以,
即
令
则
当时,,所以函数在上单调递减;
当时,,所以函数在上单调递增;
所以函数在取得最小值,最小值为.
所以,即,解得或
因为,所以.
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【题目】如图,在三棱柱ABC-中,平面ABC,D,E,F,G分别为,AC,,的中点,AB=BC=,AC==2.
(Ⅰ)求证:AC⊥平面BEF;
(Ⅱ)求二面角B-CD-C1的余弦值;
(Ⅲ)证明:直线FG与平面BCD相交.
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【题目】设p:f(x)=1+ax,在(0,2]上f(x)≥0恒成立,q函数g(x)=ax+2lnx在其定义域上存在极值.
(1)若p为真命题,求实数a的取值范围;
(2)如果“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.
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【题目】已知椭圆的焦距为,且过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知,是否存在使得点关于的对称点(不同于点)在椭圆上?若存在求出此时直线的方程,若不存在说明理由.
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【题目】如图,,分别是通过某城市开发区中心O的两条东西和南北走向的街道,连接M,N两地间的铁路是圆心在上的一段圆弧.若点M在点O正北方向,且,点N到,的距离分别为5km和4km.
(1)建立适当的坐标系,求铁路路线所在圆弧的方程.
(2)若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校,考虑环境问题,要求校址到点O的距离大于4km,并且铁路上任意一点到校址的距离不能小于km,求该校址距点O的最近距离.
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【题目】进入21世纪,互联网和通讯技术高速发展使商务进入一个全新的阶段,网上购物这一方便、快捷的购物形式已经被越来越多的人所接受某互联网公司为进一步了解大学生的网上购物的情况,对大学生的消费金额进行了调查研究,得到如下统计表:
组数 | 消费金额元 | 人数 | 频率 |
第一组 | 1100 | ||
第二组 | 3900 | ||
第三组 | 3000 | p | |
第四组 | 1200 | ||
第五组 | 不低于200元 | m |
求m,p的值;
该公司从参与调查且购物满150元的学生中采用分层抽样的方法抽取作为中奖用户,再随机抽取中奖用户的获得一等奖求第五组至少1人获得一等奖的概率.
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【题目】如图,椭圆经过点,且点到椭圆的两焦点的距离之和为.
(l)求椭圆的标准方程;
(2)若是椭圆上的两个点,线段的中垂线的斜率为且直线与交于点,为坐标原点,求证:三点共线.
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