Question

如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=2AD．
（1）求证：AB⊥PD；
（2）在线段PB上是否存在一点E，使AE∥平面PCD，若存在，指出点E的位置并加以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由PA⊥平面ABCD，推知PA⊥AB．又AB⊥AD，PA∩AD=A，从而有AB⊥平面PAD，证得AB⊥PD．
（2）取线段PB的中点E，PC的中点F，连接AE，EF，DF，则EF是△PBC中位线．可推知四边形EFDA是平行四边形，转化出AE∥DF．再由线面平行的判定定理得证．

解答：解：
（1）证明∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB．（2分）
∵AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，（5分）
∵PD?平面PAD，
∴AB⊥PD．（6分）

（2）取线段PB的中点E，PC的中点F，连接AE，EF，DF，
则EF是△PBC中位线．
∴EF∥BC，EF=

1

2

BC，
∵AD∥BC，AD=

1

2

BC，
∴AD∥EF，AD=EF．
∴四边形EFDA是平行四边形，（8分）
∴AE∥DF．
∵AE?平面PCD，DF?平面PCD，（10分）
∴AE∥平面PCD．（11分）
∴线段PB的中点E是符合题意要求的点．（12分）
∴平面AEF∥平面PCD．（10分）
∵AE?平面AEF，
∴AE∥平面PCD．（11分）
∴线段PB的中点E是符合题意要求的点．（12分）

点评：本题主要考查了线面平行与线线平行，线面垂直和线线垂直间的转化，考查了作图能力和转化问题的能力．