Question

【题目】湖南省会城市长沙又称星城，是楚文明和湖湘文化的发源地，是国家首批历史文化名城.城内既有岳麓山、橘子洲等人文景观，又有岳麓书院、马王堆汉墓等名胜古迹，每年都有大量游客来长沙参观旅游.为合理配置旅游资源，管理部门对首次来岳麓山景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只游览岳麓山，另外的人计划既游览岳麓山又参观马王堆.每位游客若只游览岳麓山，则记1分；若既游览岳麓山又参观马王堆，则记2分.假设每位首次来岳麓山景区游览的游客计划是否参观马王堆相互独立，视频率为概率.

（1）从游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为，求的分布列和数学期望；

（2）从游客中随机抽取人（），记这人的合计得分恰为分的概率为，求；

（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）分布列见解析，；（2）；（3）是常数

【解析】

（1）据题意，每位游客计划不参观马王堆的概率为，参加马王堆的概率为，的可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．

（2）这人的合计得分为分，则其中只有1人计划参观马王堆，从而，设，利用错位相减法能求出．

（3）在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为分或分，记“合计得分“为事件，“合计得分”为事件，与是对立事件，推导出，由此能求出随着抽取人数的无限增加，趋近于常数．

解：（1）据题意，每位游客计划不参观马王堆的概率为，记1分；参观马王堆的概率为，记2分，则的可能取值为3，4，5，6.

其中，，，.

所以的分布列为

	3	4	5	6

.

（2）因为这人的合计得分为分，则其中有且只有1人计划参观马王堆，

所以.

设，则.

两式相减，得，

所以.

（3）在随机抽取若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为分或

分，记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，则与为对立事件.

因为，，则（），即（）.

因为，则数列是首项为，公比为的等比数列，所以，

即.

因为，则时，，从而，

所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数.