【题目】设函数的定义域为I,区间,记.证明:
(1)函数在区间D上单调递增的充要条件是:,都有;
(2)函数在区间D上单调递减的充要条件是:,都有.
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【题目】如图,多面体ABCDEF中,四边形ABCD为矩形,二面角A-CD-F为60°,DE∥CF,CD⊥DE,AD=2,DE=DC=3,CF=6.
(1)求证:BF∥平面ADE;
(2)在线段CF上求一点G,使锐二面角B-EG-D的余弦值为.
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【题目】已知向量, .
(1)若分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6),先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足的概率;
(2)若在连续区间上取值,求满足的概率.
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【题目】“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查,得到了如下列联表:
项目 | 男性 | 女性 | 总计 |
反感 | 10 | ||
不反感 | 8 | ||
总计 | 30 |
已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是.
(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果,不需要写求解过程),并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关?
(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人数为X,求X的分布列和数学期望.
附:K2=
.
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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【题目】(本小题满分13分)如图,在直角坐标系中,角的顶点是原点,始边与轴正半轴重合.终边交单位圆于点,且,将角的终边按逆时针方向旋转,交单位圆于点,记.
(1)若,求;
(2)分别过作轴的垂线,垂足依次为,记的面积为,的面积为,若,求角的值.
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【题目】(本小题满分12分)
围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位:元)。
(Ⅰ)将y表示为x的函数;
(Ⅱ)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。
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【题目】已知椭圆:,其左、右焦点分别为,上顶点为,为坐标原点,过的直线交椭圆于两点,.
(1)若直线垂直于轴,求的值;
(2)若,直线的斜率为,则椭圆上是否存在一点,使得关于直线成轴对称?如果存在,求出点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)设直线:上总存在点满足,当的取值最小时,求直线的倾斜角.
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【题目】对于定义在上的函数,若存在距离为的两条直线和,使得对任意都有恒成立,则称函数有一个宽度为的通道.给出下列函数:
①; ②; ③; ④.
其中在区间上有一个通道宽度为的函数是__________(写出所有正确的序号).
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