Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，等差数列b_n的前n项和为T_n，已知S_n=2ⁿ⁺¹-c+1（其中c为常数），b₁=1，b₂=c．
（1）求常数c的值及数列{a_n}，b_n的通项公式a_n和b_n．
（2）设，设数列d_n的前n项和为D_n，若不等式m≤D_n＜k对于任意的n∈N^*恒成立，求实数m的最大值与整数k的最小值．
（3）试比较与2的大小关系，并给出证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设知，S_n-1=2ⁿ-c+1，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ（n≥2），所以a₁=2¹=2；另一方面，当n=1时，a₁=S₁=2²-c+1=5-c，所以c=3，
从而b_n=2n-1．
（2）由，知D_n=d₁+d₂+d₃+d₄+…+d_n-1+d_n，再用错位相减法求出．然后利用D_n是单调递增的，求实数m的最大值和整数k的最小值．
（3）由b_n=2n-1得T_n=n²，，所以由裂项求和法知＜2．
解答：解：（1）由题可得当n≥2时，S_n-1=2ⁿ-c+1
从而a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ（n≥2），
又由于{a_n}为等比数列，所以a_n=2ⁿ（n∈N^*），
所以a₁=2¹=2；另一方面，当n=1时，a₁=S₁=2²-c+1=5-c
所以c=3，从而b_n=2n-1

（2）由（1）得
所以D_n=d₁+d₂+d₃+d₄++d_n-1+d_n①
从而②
①-②得
解得
由于D_n是单调递增的，且，所以D₁≤D_n＜3，即
所以实数m的最大值为，整数k的最小值为3．

（3）由b_n=2n-1可求得T_n=n²，
当n≥2时，
所以=
所以＜2
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意裂项求和法的运用．