Question

7．已知?a∈[1，2），?x₀∈（0，1]，使得$ln{x_0}+{e^a}＞\frac{{a{x_0}}}{2}+\frac{a}{2}+m$，则实数m的取值范围为（-∞，e-1）．

Answer 1

分析 若?a∈[1，2），?x₀∈（0，1]，使得$ln{x_0}+{e^a}＞\frac{{a{x_0}}}{2}+\frac{a}{2}+m$，则m小于函数f（x）=$lnx+{e}^{a}-\frac{a}{2}（x+1）$最大值的最小值，利用导数法求得答案．

解答 解：令f（x）=$lnx+{e}^{a}-\frac{a}{2}（x+1）$，
则f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{2}$，
当a∈[1，2），x∈（0，1]时，f′（x）＞0恒成立，
故f（x）在区间（0，1]上为增函数，
当x=1时，函数取最大值e^a-a，
令g（a）=e^a-a，则g′（a）=e^a-1，
当a∈[1，2）时，g′（a）＞0恒成立，
故g（a）在区间[1，2）上为增函数，
当a=1时，函数取最小值e-1，
若?a∈[1，2），?x₀∈（0，1]，使得$ln{x_0}+{e^a}＞\frac{{a{x_0}}}{2}+\frac{a}{2}+m$，
即?a∈[1，2），?x₀∈（0，1]，使得$ln{x}_{0}+{e}^{a}-\frac{a}{2}{（x}_{0}+1）＞m$成立，
故m＜e-1，
故实数m的取值范围为：（-∞，e-1）
故答案为：（-∞，e-1）．

点评 本题考查的知识点是导数在函数最值中的应用，转化思想，存在性问题和恒成立问题，难度中档．