【题目】已知数列满足, .
(1)求证: ;
(2)求证: ;
(3)求证: .
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.
【解析】试题分析: 用数学归纳法证明,当时成立,假设成立下证时也成立当时成立,由(1)结果得 ,下证也成立由(2)结果得计算得出结果
解析:(1)用数学归纳法证明.
①当n=1时,命题显然成立;
②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,有≤ak≤1成立,
则当n=k+1时,ak+1=,
ak+1=,
即当n=k+1时也成立,
所以对任意n∈N*,都有≤an≤1.
(2)当n=1时,|a2-a1|=,
当n≥2时,∵ =·=1+≥1+=,
∴|an+1-an|=
=≤|an-an-1|≤…≤|a2-a1|
=.
综上所述,|an+1-an|≤.
(3)当n=1时,|a2-a1|==;
当n≥2时,由(2)知
|a2n-an|≤|a2n-a2n-1|+|a2n-1-a2n-2|+…+|an+1-an|≤
=,综上所述,|a2n-an|≤.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以原点为极点,以轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为:.
(1)若曲线的参数方程为(为参数),求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程;
(2)若曲线的参数方程为(为参数),,且曲线与曲线的交点分别为、,求的取值范围.
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【题目】已知定义域为的函数是奇函数.
(1) 求实数的值;
(2) 判断并用定义证明该函数在定义域上的单调性;
(3) 若方程在内有解,求实数的取值范围.
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【题目】如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,BC=BB1,∠BAC=∠BCA=∠ABC,点E是A1B与AB1的交点,点D在线段AC上,B1C∥平面A1BD.
(1)求证:BD⊥A1C;
(2)求证:AB1⊥平面A1BC。
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【题目】已知平面内两点.
(1)求的中垂线方程;
(2)求过点且与直线平行的直线的方程;
(3)一束光线从点射向(2)中的直线,若反射光线过点,求反射光线所在的直线方程.
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【题目】国务院批准从2009年起,将每年8月8日设置为“全民健身日”,为响应国家号召,各地利用已有土地资源建设健身场所.如图,有一个长方形地块,边为,为.地块的一角是草坪(图中阴影部分),其边缘线是以直线为对称轴,以为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线上一点的直线型隔离带,,分别在边,上(隔离带不能穿越草坪,且占地面积忽略不计),将隔离出的作为健身场所.则的面积为的最大值为____________(单位:).
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【题目】假设关于某种设备的使用年限(年)与所支出的维修费用 (万元)有如下统计:
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
已知, . ,
(1)求, ;
(2)与具有线性相关关系,求出线性回归方程;
(3)估计使用年限为10年时,维修费用约是多少?
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),其中.以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)已知曲线与交于, 两点,记点, 相应的参数分别为, ,当时,求的值.
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