Question

【题目】已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=16及直线l：（m+2）x+（3m+1）y=15m+10（m∈R）．

（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；

（2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）最短长度为，此时直线方程为x+y=7．．

【解析】

（1）根据题意，利用直线系求出直线l恒过的定点（3，4），判断该定点在圆的内部，分析即可得答案，

（2）利用圆的半径弦心距与半弦长的关系判断所求直线的位置，求出斜率，即可得到直线方程．

（1）证明：直线l可化为2x+y﹣10+m（x+3y﹣15）=0，

，解可得，

则直线l：（m+2）x+（3m+1）y=15m+10恒过点（3，4）．

又有（3﹣2）2+（4﹣3）2=2＜16，

则点（3，4）在圆内部，

故不论m为何实数，直线l与圆恒相交；

（2）根据题意，设直线与圆的交点为A、B，M（3，4），

由（1）的结论和直线l过定点M（3，4）且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，

此时圆心到直线的距离为，

所以，即最短弦长为．

又KCM==1，则直线l的斜率k=﹣1，

则直线l的方程为y﹣4=﹣（x﹣3），即x+y=7．