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    【题目】如图，在直三棱柱中， 分别是棱的中点，点在线段上（包括两个端点）运动．

    （1）当为线段的中点时，

    ①求证：；②求平面与平面所成锐二面角的余弦值；

    （2）求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围.

    【答案】（1）①见解析；②；（2）.

    【解析】

    （1）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，

    由向量法证明线线垂直和计算二面角。（2）设（），设直线与平面所成的角为由向量坐标法求得

    设设由导数法求得范围。

    以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，

    则 ，.

    因为分别是棱的中点，所以

    （1）当为线段的中点时，则

    ①因为 所以即

    ②因为设平面的一个法向量为

    由 可得，取，则所以

    又因为是平面的一个法向量，

    设平面与平面所成的二面角的平面角为，

    则 .因为为锐角，所以

    所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为

    （2）因为在线段上，所以设（），解得，

    所以.

    因为设平面的一个法向量为

    由可得，取则所以

    设直线与平面所成的角为

    则

    因为所以设则

    所以，设

    则，设可求得的取值范围为，

    进一步可求得的取值范围为

    所以直线与平面所成的角的正弦值的取值范围为.

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    B.必要而不充分条件
    C.充分必要条件
    D.既不充分又不必要条件

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    【题目】在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．

    (1)根据以上数据建立一个2×2的列联表；

    (2)根据所给的独立检验临界值表，你最多能有多少把握认为性别与休闲方式有关系？附：独立检验临界值表

    P(K2≥k0)

    0.50

    0.40

    0.25

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    k0

    0.455

    0.708

    1.323

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

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    (cos 1＋isin 1)(cos 2＋isin 2)＝cos 3＋isin 3；

    (cos 3＋isin 3)(cos 5＋isin 5)＝cos 8＋isin 8；

    (cos 4＋isin 4)(cos 7＋isin 7)＝cos 11＋isin 11；

    (cos 6＋isin 6)(cos 6＋isin 6)＝cos 12＋isin 12．

    记f(x)＝cos x＋isin x．

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    A.
    B.
    C.
    D.

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    A.48ln2
    B.40ln2
    C.32ln2
    D.24ln2

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