Question

（本题满分12分）已知函数，g (x) =－6x + ln x³（a≠0）．

（Ⅰ）若函数h (x) = f (x)－g (x) 有两个极值点，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数a＞0，使得方程g (x) = x f ′(x)－3（2a + 1）x  无实数解？若存在，求出a的取值范围？若不存在，请说明理由．

Answer 1

解 （Ⅰ）∵ h (x) = f (x)－g (x) =+ 6x－3 ln x（x＞0），

∴ ．                                                           …………………… 2分

∵ 函数h (x) 有两个极值点，∴ 方程，

即ax² + 2x－1 = 0应有两个不同的正数根，于是  

Þ －1＜a＜0．                                                                      …………………… 6分

（Ⅱ）方程 g (x) = x f ′(x)－3（2a + 1）x 即为 －6x + 3 ln x = 3ax²－3（2a + 1）x，

等价于方程 ax² +（1－2a）x－ln x = 0．

设 H（x）= ax² +（1－2a）x－ln x，转化为关于函数H（x）在区间（0，+∞）内的零点问题（即函数H（x）图象与x轴有无交点的问题）．    …………………… 8分

∵ H ′(x) = 2ax +（1－2a）－，

且a＞0，x＞0，则当x∈（0，1）时，H ′(x)＜0，H（x）是减函数；

当x∈（1，+∞）时，H ′(x)＞0，H（x）是增函数．         …………………… 10分

因为 x ® 0（或者x ®+∞）时，H（x）® +∞，

∴ 要使H（x）图象与x轴有无交点，只需

H（x）_min = H（1）= a +（1－2a）= 1－a＞0，结合a＞0得 0＜a＜1，为所求．

…………………… 12分