Question

在直角坐标系中，以M（-1，0）为圆心的圆与直线x-

3

y-3=0相切．
（1）求圆M的方程；
（2）已知A（-2，0）、B（2，0），圆内动点P满足|PA|•|PB|=|PO|²，求

PA

•

PB

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据直线与圆线切，可转化成圆心到直线的距离等于半径，建立等量关系，求出半径即可；
（2）设出点P的坐标，由|PA|•|PB|=|PO|²求出点P的轨迹，根据数量积的运算公式表示出

PA

•

PB

，再利用消元法得到一个变量的函数求取值范围，注意这一变量的范围．

解答：解：（1）依题意，圆M的半径等于圆心M（-1，0）到直线x-

3

y-3=0的距离，
即r=

|-1-3|

1+3

=2．（4分）
∴圆M的方程为（x+1）²+y²=4．（6分）
（2）设P（x，y），由|PA|•|PB|=|PO|²，
得

(x+2)2+y2

•

(x-2)2+y2

=x2+y2，
即x²-y²=2．（9分）

PA

•

PB

=(-2-x，-y)•(2-x，-y)=y2+x2-4=2(y2-1)（11分）
∵点在圆M内，
∴（x+1）²+y²＜4，而x²-y²=2
∴

-1- 11

2

＜x＜

-1+ 11

2

，
?0≤y²＜1+

11

2

?-1≤y²-1＜

11

2

，
∴

PA

•

PB

的取值范围为[-2，

11

）．（14分）

点评：本题主要考查了圆的标准方程以及直线与圆的位置关系，平面向量数量积的运算等知识，属于中档题．