Question

给出下列四个命题：
①若z∈C，|z|²=z²，则z∈R；        ②若z∈C，

.

z

=-z，则z是纯虚数；
③若z∈C，|z|²=zi，则z=0或z=i；    ④若z₁，z₂∈C，|z₁+z₂|=|z₁-z₂|则z₁z₂=0．
其中真命题的个数为

 

．

Answer 1

分析：设z=a+bi，根据已知中的条件，将z=a+bi代入，解关于a，b的方程，求出满足条件的a，b的值，可以判断出①②③的真假，举出反例说明，z₁z₂≠0时，|z₁+z₂|=|z₁-z₂|也可能成立，即可判断④的对错，进而得到答案．

解答：解：若z∈C，令z=a+bi，则|z|²=a²+b²，z²=a²-b²+2abi，若|z|²=z²，则b=0，此时z为实数，故①正确；
若z∈C，令z=a+bi，则

.

z

=-z时，b=0，则z是实数，故②错误；
若z∈C，令z=a+bi，则|z|²=a²+b²=ai-b，则a=0，b=0或b=-1，即z=0或z=-i，故③错误；
若z₁，z₂∈C，令z₁=1+i，z₂=1-i，|z₁+z₂|=|z₁-z₂|，则z₁z₂≠0，故④错误；
故真命题的个数为1个
故答案为1个

点评：本题考查的知识点是复数的基本概念，其中根据复数模的计算方法，及复数的基本运算法则，将z=a+bi代入，解关于a，b的方程，求出满足条件的a，b的值，再判断命题的真假是解答本题的关键．