Question

从圆 （x-1）²+（y-1）²=1外一点P（2，3）向这个圆引切线
（Ⅰ）求切线的方程；
（Ⅱ）求切线的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）切线的斜率存在时，设出切线的方程，进而利用点到直线的距离求得圆心到切线的距离，从而求得k，切线的方程可得；切线的斜率不存在时，切线方程可得；
（Ⅱ）根据圆的标准方程得到圆心C的坐标和圆的半径，然后利用两点间的距离公式求出|PC|的平方，然后根据圆的切线垂直于过切点的直径得到切线长、圆的半径及|PC|构成直角三角形，根据勾股定理即可求出切线长．

解答：解：（Ⅰ）①若切线的斜率存在，可设切线的方程为y-3=k（x-2）即kx-y-2k+3=0
则圆心到切线的距离d=

|k-1-2k+3|

k2+1

=1，∴k=

3

4

，故切线的方程为3x-4y+6=0
②若切线的斜率不存在，切线方程为x=2，此时直线也与圆相切．
综上所述，过P点的切线的方程为：3x-4y+6=0和x=2；
（Ⅱ）记圆心为点C，圆心C为（1，1），则|PC|²=（2-1）²+（3-1）²=5，
利用两点间的距离公式得|PC|²=（2-1）²+（3-1）²=5，
∴根据勾股定理得切线长=

5-1

=2．

点评：本题主要考查了直线与圆的位置的关系，点到直线的距离公式．考查了学生数形结合的思想的运用和基本的运算能力．