Question

定义函数f（x）=

4-8|x- 3 2 | ;1≤x≤2 1 2 f( x 2 ) ;x＞2

，则函数g（x）=xf（x）-6在区间[1，8]内的所有零点的和为

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：由题意，f（x）=

4-8|x- 3 2 |，1≤x≤2 2-2|x-3|，2＜x≤4 1-| x 2 -3|，4＜x≤8

；从而可得函数g（x）=xf（x）-6在区间[1，8]内的所有零点y=f（x）与y=

6

x

的交点的横坐标，作图求解．

解答： 解：由题意，
当2＜x≤4时，f（x）=

1

2

f（

x

2

）=2-4|

x

2

-

3

2

|
=2-2|x-3|；
当4＜x≤8时，f（x）=

1

2

f（

x

2

）=1-|

x

2

-3|；
故f（x）=

4-8|x- 3 2 |，1≤x≤2 2-2|x-3|，2＜x≤4 1-| x 2 -3|，4＜x≤8

；
函数g（x）=xf（x）-6在区间[1，8]内的所有零点即
xf（x）-6=0在区间[1，8]内的所有解；
即y=f（x）与y=

6

x

的交点的横坐标，
作y=f（x）与y=

6

x

的图象如下，

故所有的零点为

3

2

，3，6；

3

2

+3+6=10.5；
故答案为：10.5．

点评：本题考查了学生的作图能力及绝对值函数的应用，属于基础题．