Question

7名身高各不相同的学生按下列要求从左到右站成一排，求出各条件下的站法种数．（要求写出必要的解答过程，最后结果用数字表示）
（1）甲不能站在两端；
（2）甲不能站在左端，乙不能站在右端；
（3）甲乙要相邻，且丙丁要隔开；
（4）从正中间到两边都按从高到矮的顺序站立．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为甲不能站在两端，所以先从中间5位中选一位排甲，有C₅¹种不同排法，再排其他人，没有限制，有A₆⁶种不同排法，最后把两步方法数相乘即可．
（2）因为甲不排在左端，乙不排在右端，，所以先排甲乙，而甲若排在右端，则乙就没有限制，所以可按甲的排法分类，分为两类，一类是甲排在右端，其他人没有限制，有A₆⁶种排法，一类是甲不排在右端，则甲从二到五位之间选一个，有C₅¹种选法，再排乙，不能安排在右端，所以从剩下的5个位中选一位，有C₅¹中选法，最后排其他人，没有限制，有A₅⁵种排法，最后把几种方法相乘，再把两类相加即可．
（3）甲乙要相邻，可用捆绑法，把甲乙看成一个整体，和其他人排列，又因为丙丁要隔开，所以丙丁用插空法，先排其他人，再让丙丁插孔即可．
（4）若正中间到两边都按从高到矮的顺序站立．则中间确定，只需选3人放在左边，则右边也就确定了．
解答：解：（1））∵甲不能站在两端，∴先排甲，再排其他人，有A₅¹A₆⁶=3600种
（2）按甲的选择分类，
第一类，甲在右端，和甲不在右端，甲在右端，则乙没限制，有A₆⁶=720种
第二类甲不在右端，则乙也不在右端，先排甲，再排乙，最后排其他人有C₅¹C₅¹A₅⁵=3000种
∴总的方法数为720+3000=3720种
（3）甲乙要相邻，且丙丁要隔开有A₂²A₄⁴A₃²=960种．
（4）从正中间到两边都按从高到矮的顺序站立有C₆³=20种
点评：本题考查了排列中的一些常见题型，考查面较全，应该掌握．