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    2．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcosα\\ y=\frac{1}{2}+tsinα\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为${ρ^2}=\frac{4}{{4{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ}}$．
    （1）写出曲线C的直角坐标方程；
    （2）已知点P的直角坐标为$（-1，\frac{1}{2}）$，直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|PA|•|PB|的取值范围．

    分析 （1）利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出．
    （2）将直线l的参数方程与椭圆C的直角坐标方程联立，利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出．

    解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为${ρ^2}=\frac{4}{{4{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ}}$，可得4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，可得曲线C的直角坐标方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
    （2）∵点P在椭圆C的内部，故l与C恒有两个交点，即α∈R，将直线l的参数方程与椭圆C的直角坐标方程联立，
    得${（-1+tcosα）^2}+4{（\frac{1}{2}+tsinα）^2}=4$，整理得（1+3sin2α）t2+（4sinα-2cosα）t-2=0，
    则$|PA|•|PB|=\frac{2}{{1+3{{sin}^2}α}}∈[\frac{1}{2}，2]$．

    点评 本题考查了极坐标与直角坐标互化公式、直线的参数方程的应用、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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