Question

【题目】如图，EA平面ABC，DC∥EA，EA＝2DC，F是EB的中点.

（1）求证：DC平面ABC；

（2）求证：DF∥平面ABC.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；

【解析】

（1）根据线面垂直的性质与判定定理即可证明；

（2）取AB中点M，连结CM，FM，证明四边形DCMF为平行四边形，由此根据线面平行的判定定理即可证明．

证明：（1）∵EA⊥平面ABC，AB，AC平面ABC，

∴EA⊥AB，EA⊥AC，

又DC∥EA，

∴DC⊥AB，DC⊥AC，

∵ABAC＝A，AB、AC平面ABC，

∴DC⊥平面ABC；

（2）取AB中点M，连结CM，FM，

在△ABE中，F，M分别为EB，AB中点，

FM∥EA，且EA＝2FM．

又DC∥EA且EA＝2DC，

于是DC∥FM，且DC＝FM，

∴四边形DCMF为平行四边形，

则DF∥CM，CM平面ABC，DF平面ABC，

∴DF∥平面ABC．