Question

设数{a_n}的前n项和为S_n=4-

1

4n-1

（n∈N⁺），数{b_n}为等差数列，且b₁=a₁，a₂（b₂-b₁）=a₁
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（II）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）根据a_n=s_n-s_n-1，求出数列{a_n}的通项公式；由a₂（b₂-b₁）=a₁，求出b₂、b₁，进而求出公差，再由等差数列得到数列{b_n}的通项公式；
（II）首先由（I）得出求数列{c_n}的通项公式，然后求出4T_n-T_n，进而求出前n项和T_n．

解答：解（Ⅰ）由数列{a_n}的前n项和为Sn=4-

1

4n-1

得：an=Sn-Sn-1=4-

1

4n-1

-4+

1

4n-2

=

3

4n-1

(n≥2)
a₁=S₁=4-1=3（n=1）
∴an=

3

4n-1

(n∈N*)（3分）
b₁=a₁=3，a₂（b₂-b₁）=a₁?

3

4

(b2-b1)=3∴b₂-b₁=4
数列{b_n}为等差数列，
所以b_n=b₁+（n-1）4=4n-1（16分）
（Ⅱ）设cn=anbn=

3(4n-1)

4n-1

Tn=

3×3

1

+

3×7

4

++

3(4n-5)

4n-1

+

3(4n-1)

4n-1

①4Tn=4•

3×3

1

+

3×7

1

+

3×11

41

3(4n-5)

4n-3

+

3(4n-1)

4n-2

②（9分）
②-①3Tn=4×9+3×4(

1

1

+

1

41

++

1

4n-3

+

1

4n-2

)-

3(4n-1)

4n-1

Tn=

52

3

-

1

3•4n-3

-

(4n-1)

4n-1

或

52

3

-

48n+52

3•4n

或

52

3

-

n

4n-2

-

13

3•4n-1

（12分）

点评：本题考查数列的递推式、等差数列的通项公式以及数列的前n项和，对于等差数列和等比数列乘积形式的数列一般采取错位相减的方法求前n项和，属于中档题．