Question

【题目】已知不等式ln（x+1）﹣1≤ax+b对一切x＞﹣1都成立，则 的最小值是（ ）
A.e﹣1
B.e
C.1﹣e﹣3
D.1

Answer 1

【答案】C
【解析】解：令y=ln（x+1）﹣ax﹣b﹣1，则y′= ﹣a，

若a≤0，则y′＞0恒成立，x＞﹣1时函数递增，无最值．

若a＞0，由y′=0得：x= ，

当﹣1＜x＜ 时，y′＞0，函数递增；

当x＞ 时，y′＜0，函数递减．

则x= 处取得极大值，也为最大值﹣lna+a﹣b﹣2，

∴﹣lna+a﹣b+2≤0，

∴b≥﹣lna+a+2，

∴ ≥ ，令t= ，

∴t′= ，

∴（0，e3）上，t′＜0，（e3，+∞）上，t′＞0，

∴a=e3，tmin=1﹣e﹣3．

∴ 的最小值为1﹣e﹣3．

故选：C．