Question

2．已知点A、B是抛物线x²=4y上任意两点，过点A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点M（t，-2），（t≠0）．
（1）求证：切线MA与MB的斜率之积为定值．
（2）设直线AB的中垂线交x轴于点P，交y轴于点Q，当1≤t≤2$\sqrt{2}$时，求$\frac{|PQ|}{|AB|}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得函数y=$\frac{1}{4}$x²的导数，可得切线MA，MB的斜率，可得切线的方程，代入M的坐标，可得x₁，x₂为方程x²-2tx-8=0，运用韦达定理，可得切线的斜率为定值；
（2）求出切点弦方程和中垂线方程，可得PQ的长，由弦长公式可得AB的长，注意用t表示，求得$\frac{|PQ|}{|AB|}$的解析式，由t的范围，即可得到所求范围．

解答 解：（1）证明：y=$\frac{1}{4}$x²的导数为y′=$\frac{1}{2}$x，
设切点A（x₁，$\frac{1}{4}$x₁²），B（x₂，$\frac{1}{4}$x₂²），
即有切线MA：y-$\frac{1}{4}$x₁²=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），
化为y=$\frac{1}{2}$x₁x-$\frac{1}{4}$x₁²，
同理可得切线MB：y=$\frac{1}{2}$x₂x-$\frac{1}{4}$x₂²，
又它们都过点M（t，-2），
可得-2=$\frac{1}{2}$x₁t-$\frac{1}{4}$x₁²，及-2=$\frac{1}{2}$x₂t-$\frac{1}{4}$x₂²，
即有x₁，x₂为方程x²-2tx-8=0，
则x₁+x₂=2t，x₁x₂=-8，
即有切线MA与MB的斜率之积为$\frac{1}{4}$x₁x₂=-2即为定值；
（2）由（1）弦AB的方程为xt-2y+4=0，
中点为（t，$\frac{4+{t}^{2}}{2}$），中垂线的斜率为-$\frac{2}{t}$，
方程即有y-$\frac{4+{t}^{2}}{2}$=-$\frac{2}{t}$（x-t），
可得P（$\frac{t（8+{t}^{2}）}{4}$，0）Q（0，$\frac{8+{t}^{2}}{2}$），
可得|PQ|=$\frac{（{t}^{2}+8）\sqrt{4+{t}^{2}}}{4}$，
由|AB|=$\sqrt{1+\frac{{t}^{2}}{4}}$•$\sqrt{4{t}^{2}+32}$=$\sqrt{4+{t}^{2}}$•$\sqrt{8+{t}^{2}}$，
则$\frac{|PQ|}{|AB|}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{8{+t}^{2}}$，由1≤t≤2$\sqrt{2}$，
可得t=1取得最小值$\frac{3}{4}$，t=2$\sqrt{2}$时，取得最大值1．
故$\frac{|PQ|}{|AB|}$的取值范围是[$\frac{3}{4}$，1]．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，直线方程的求法和运用，考查运算化简能力，属于中档题．