Question

定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1．f'（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f'（x）的图象如右图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则

b+2

a+2

的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围得到答案．

解答：解：由图可知，当x＞0时，导函数f′（x）＞0，原函数单调递增
∵两正数a，b满足f（2a+b）＜1，
∴0＜2a+b＜4，
∴b，a满足不等式

a＞0 b＞0 2a+b＜4

，其对应的区域如图阴影部分（不包括边界）
∴

b+2

a+2

表示过点P（-2，-2）与区域内一点M连线的斜率
由图知，当点M在A时，

b+2

a+2

取到最大值为3，当点M在点B时，取到最小值

1

2

由于区域不包括边界，故

b+2

a+2

的取值范围是(

1

2

，3)
故答案为：(

1

2

，3)．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，根据导函数的符号判定函数的单调性是解题的关键，属中档题．