Question

已知一次函数f（x）的图象关于直线y=x对称的图象为C，且f[f（1）]=-1，若点在曲线C上，并有a₁=1，
（1）求f（x）的解析式及曲线C的方程；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设，求证：数列{b_n}的前n项和S_n＜．

Answer 1

解：（1）设f（x）=kx+b（k≠0）（1分）
则f[f（1）]=k（k+b）+b=k²+kb+b=-1即k²+kb+b+1=0①（2分）
又是曲线C的解析式．
∵点在曲线C上，
∴
又∵故，代入①得b=-1
∴f（x）=x-1，f^-1（x）=x+1∴曲线C的方程是x-y+1=0（5分）

（2）由（1）知当x=n时，f^-1（n）=n+1故，而a₁=1，
于是3•2•1=n!（10分）

（3）∵
∴S_n=b₁+b₂++b_n==（14分）
分析：（1）首先设设f（x）=kx+b（k≠0），代入f[f（1）]即可得k²+kb+b+1=0①；求出反函数，将点代入得f^-1（n）-f^-1（n-1）=1，又，即可得出k=1，代入①得b=-1
故可求出f（x）=x-1，f^-1（x）=x+1，进而知曲线C的方程是x-y+1=0；
（2）由（1）知当x=n时，f^-1（n）=n+1故，即可求出a_n=n!；
（3）由（2）可得，即可求出s_n=b₁+b₂++b_n=．
点评：本题主要考函数及数列的综合运用及其相关运算，属于中档题．