Question

已知函数f（x）=e^x的反函数是g（x），点M，N分别是函数f（x），g（x）上的两个动点，线段MN的最小值是

 

．

Answer 1

考点：反函数

专题：数形结合,函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：由题意，函数f（x）=e^x的反函数是g（x）=lnx，画出图形，结合图形，得出点M，N分别是函数f（x），g（x）上的平行于直线y=x的切线的切点时，线段MN的值最小，求出即可．

解答： 解：∵函数f（x）=e^x的反函数是g（x）=lnx，
画出图形，如图所示；
当点M，N分别是函数f（x），g（x）上的平行于直线y=x的切线的切点时，线段MN的值最小，
此时∵f′（x）=e^x=1，∴x=0，∴M（0，1）；
∵g′（x）=

1

x

=1，∴x=1，∴N（1，0）；
∴|MN|=

2

；
∴MN的最小值是

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查了函数的图象与性质以及导数的应用问题，解题时应结合函数的图象，进行解答，是基础题．