【题目】已知点在同一个球的球面上,,,.若四面体体积的最大值为,则这个球的表面积为_____.
【答案】
【解析】
根据几何体的特征,小圆的圆心为Q,若四面体ABCD的体积的最大值,由于底面积S△ABC不变,高最大时体积最大,可得DQ与面ABC垂直时体积最大,从而求出球的半径,即可求出球的表面积.
根据题意知,A、B、C三点均在球心O的表面上,
且,,,由余弦定理可得BC,∴△ABC为直角三角形,
∴△ABC外接圆直径2r=AC=6,即r=3,
且S△ABC×3,
AC的中点即为小圆的圆心设为Q,若四面体ABCD的体积的最大值,由于底面积S△ABC不变,高最大时体积最大,
所以,DQ与面ABC垂直时体积最大,最大值为S△ABC×DQ,
∴DQ=3,
设球的半径为R,则
在直角△AQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=32+(3﹣R)2,∴R,
∴球的表面积为,
故答案为.
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【题目】2012年,在“杂交水稻之父”袁隆平的实验田内种植了,两个品种的水稻,为了筛选出更优的品种,在,两个品种的实验田中分别抽取7块实验田,如图所示的茎叶图记录了这14块实验田的亩产量(单位:),通过茎叶图比较两个品种的均值及方差,并从中挑选一个品种进行以后的推广,有如下结论:①品种水稻的平均产量高于品种水稻,推广品种水稻;②品种水稻的平均产量高于品种水稻,推广品种水稻;③品种水稻比品种水稻产量更稳定,推广品种水稻;④品种水稻比品种水稻产量更稳定,推广品种水稻;其中正确结论的编号为( )
A.①②B.①③C.②④D.①④
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【题目】设椭圆C: 的一个顶点与抛物线: 的焦点重合,分别是椭圆的左、右焦点,离心率 ,过椭圆右焦点的直线l与椭圆C交于M、N两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在直线l,使得 ,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由;
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【题目】在意大利,有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛(Alberobello),这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo,于1996年被收入世界文化遗产名录(如图1).现测量一个屋顶,得到圆锥SO的底面直径AB长为12m,母线SA长为18m(如图2).C,D是母线SA的两个三等分点(点D靠近点A),E是母线SB的中点.
(1)从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带,求灯光带的最小长度;
(2)现对屋顶进行加固,在底面直径AB上某一点P,向点D和点E分别引直线型钢管PD和PE.试确定点P的位置,使得钢管总长度最小.
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【题目】2019年4月23日“世界读书日”来临之际,某校为了了解中学生课外阅读情况,随机抽取了100名学生,并获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,按阅读时间分组:第一组[0,5), 第二组[5,10),第三组[10,15),第四组[15,20),第五组[20,25],绘制了频率分布直方图如下图所示。已知第三组的频数是第五组频数的3倍。
(1)求的值,并根据频率分布直方图估计该校学生一周课外阅读时间的平均值;
(2)现从第三、四、五这3组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”。经过比赛后,从这6人中随机挑选2人组成该校代表队,求这2人来自不同组别的概率。
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【题目】如图,已知一个八面体的各条棱长均为,四边形为正方形,给出下列命题:
①不平行的两条棱所在的直线所成的角是或; ②四边形是正方形;
③点到平面的距离为; ④平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
其中正确的命题全部序号为_________________
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【题目】詹姆斯·哈登(James Harden)是美国NBA当红球星,自2012年10月加盟休斯顿火箭队以来,逐渐成长为球队的领袖.2017-18赛季哈登当选常规赛MVP(最有价值球员).
年份 | 2012-13 | 2013-14 | 2014-15 | 2015-16 | 2016-17 | 2017-18 |
年份代码t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
常规赛场均得分y | 25.9 | 25.4 | 27.4 | 29.0 | 29.1 | 30.4 |
(Ⅰ)根据表中数据,求y关于t的线性回归方程(,*);
(Ⅱ)根据线性回归方程预测哈登在2019-20赛季常规赛场均得分.
(附)对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,
(参考数据,计算结果保留小数点后一位)
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