【题目】【2017山西三区八校二模】已知函数(其中, 为常数且)在处取得极值.
(Ⅰ)当时,求的单调区间;
(Ⅱ)若在上的最大值为1,求的值.
【答案】(Ⅰ)单调递增区间为, ;单调递减区间为; (Ⅱ)或.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由函数的解析式,可求出函数导函数的解析式,进而根据是的一个极值点,可构造关于, 的方程,根据求出值;可得函数导函数的解析式,分析导函数值大于0和小于0时, 的范围,可得函数的单调区间;
(Ⅱ)对函数求导,写出函数的导函数等于0的的值,列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况,做出极值,把极值同端点处的值进行比较得到最大值,最后利用条件建立关于的方程求得结果.
试题解析:
(Ⅰ)因为,所以,
因为函数在处取得极值,
当时, , ,
由,得或;由,得,
即函数的单调递增区间为, ;单调递减区间为.
(Ⅱ)因为,
令, , ,
因为在处取得极值,所以,
当时, 在上单调递增,在上单调递减,
所以在区间上的最大值为,
令,解得,
当, ,
当时, 在上单调递增, 上单调递减, 上单调递增,
所以最大值1可能的在或处取得,而 ,
所以,解得;
当时, 在区间上单调递增, 上单调递减, 上单调递增,
所以最大值1可能在或处取得,
而,
所以,
解得,与矛盾.
当时, 在区间上单调递增,在上单调递减,
所最大值1可能在处取得,而,矛盾.
综上所述, 或.
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【题目】如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求M在AB的延长线上,N在AD的延长线上,且对角线MN过点C,已知AB=3米,AD=2米,记矩形AMPN的面积为S平方米.
(1)按下列要求建立函数关系;
(i)设AN=x米,将S表示为x的函数;
(ii)设∠BMC=θ(rad),将S表示为θ的函数.
(2)请你选用(1)中的一个函数关系,求出S的最小值,并求出S取得最小值时AN的长度.
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【题目】【2017福建三明5月质检】已知直线与抛物线相切,且与轴的交点为,点.若动点与两定点所构成三角形的周长为6.
(Ⅰ) 求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ) 设斜率为的直线交曲线于两点,当,且位于直线的两侧时,证明: .
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【题目】【2017湖南长沙二模】某种产品的质量以其质量指标值衡量,并依据质量指标值划分等极如下表:
质量指标值 | |||
等级 | 三等品 | 二等品 | 一等品 |
从某企业生产的这种产品中抽取200件,检测后得到如下的频率分布直方图:
(1)根据以上抽样调查数据 ,能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品90%”的规定?
(2)在样本中,按产品等极用分层抽样的方法抽取8件,再从这8件产品中随机抽取4件,求抽取的4件产品中,一、二、三等品都有的概率;
(3)该企业为提高产品质量,开展了“质量提升月”活动,活动后再抽样检测,产品质量指标值近似满足,则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少?
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【题目】【2017安徽阜阳二模】一企业从某生产线上随机抽取件产品,测量这些产品的某项技术指标值,得到的频率分布直方图如图.
(1)估计该技术指标值平均数;
(2)在直方图的技术指标值分组中,以落入各区间的频率作为取该区间值的频率,若,则产品不合格,现该企业每天从该生产线上随机抽取件产品检测,记不合格产品的个数为,求的数学期望.
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【题目】设直线系M:xcosθ+ysinθ=1,对于下列四个命题:
①不在直线系M中的点都落在面积为π的区域内
②直线系M中所有直线为一组平行线
③直线系M中所有直线均经过一个定点
④对于任意整数n(n≥3),存在正n边形,其所有边均在直线系M中的直线上
其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号).
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