Question

10．已知直线l：12x-5y=3与x²+y²-6x-8y+16=0相交于A，B两点，则|AB|=4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径r，根据题意画出图形，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，由求出的d与半径r，根据垂径定理与勾股定理求出|AB|的一半，即可得到|AB|的长．

解答 解：把圆的方程化为标准方程得：（x-3）²+（y-4）²=9，
∴圆心坐标为（3，4），半径r=3，
∴圆心到直线12x-5y=3的距离d=$\frac{|12×3-5×4-3|}{\sqrt{{12}^{2}+{5}^{2}}}$=1，
则|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=4$\sqrt{2}$
故答案为：4$\sqrt{2}$

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，勾股定理以及垂径定理，考查了数形结合的思想．当直线与圆相交时，常常过圆心作直线的垂直，由弦心距、圆的半径以及弦长得一半构造直角三角形，借助图形，利用勾股定理求出直线被圆所截得弦的长度．