Question

【题目】已知椭圆C：的离心率为，且过点．

求椭圆的标准方程；

设直线l经过点且与椭圆C交于不同的两点M，N试问：在x轴上是否存在点Q，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

由椭圆C：的离心率为，且过点，列方程给，求出，，由此能求出椭圆的标准方程；假设存在满足条件的点，设直线l的方程为，由，得，由此利用韦达定理、直线的斜率，结合已知条件能求出在x轴上存在点，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值1．

椭圆C：的离心率为，且过点．

，解得，，

椭圆的标准方程为．

假设存在满足条件的点，

当直线l与x轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意，

直线l的斜率k存在，设直线l的方程为，

由，得，

设，，

则，，

，

要使对任意实数k，为定值，则只有，

此时，，

在x轴上存在点，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值1．