Question

（2011•遂宁二模）已知向量a=(sinA，cosA)，b=(

3

-1)，a•b=1，且A为锐角．
（I）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数f(x)=cos2x+4cosA•sinx，x∈[

π

6

，

7π

6

]的值域．

Answer 1

分析：（I）直接根据向量的数量积计算公式结合辅助角公式即可求角A的大小；
（Ⅱ）先根据二倍角公式对函数进行整理，再结合二次函数在闭区间上的最值讨论即可得到函数的值域．

解答：解：（I）由题得：

a

•

b

=

3

sinA-cosA=1⇒2sin（A-

π

6

）=1⇒sin（A-

π

6

）=

1

2

．
由A为锐角得：A-

π

6

=

π

6

，所以A=

π

3

．
（Ⅱ）由（I）得：cosA=

1

2

．
所以f（x）=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx=-2（sinx-

1

2

）²+

3

2

．
因为x∈[

π

6

，

7π

6

]，所以sinx∈[-

1

2

，1]．
因此当sinx=

1

2

时，f（x）有最大值

3

2

；
当sinx=-

1

2

时，f（x）有最小值-

1

2

．
所以：函数f（x）的值域为：[-

1

2

，

3

2

]．

点评：本题主要考查平面向量数量积的运算以及二次函数在闭区间上的最值求法．求二次函数在闭区间上的最值问题时，一定要判断对称轴和区间的位置关系，避免出错．