Question

选修4-1：几何证明与选讲
如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B．C，的平分线分别交AB．AC于点D．E．
（1）证明：.
（2）若AC=AP,求的值.

Answer 1

(1)∵ PA是切线，AB是弦，
∴ ∠BAP=∠C，  ………………………………2分
又 ∵ ∠APD="∠CPE,"
∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,
∵ ∠ADE="∠BAP+∠APD,"
∠AED="∠C+∠CPE,   " …………………………4分
∴ ∠ADE=∠AED．   …………………………5分
(2)由(1)知∠BAP="∠C," 又 ∵ ∠APC=∠BPA,
∴ △APC∽△BPA, ∴,  ……………7分
∵ AC="AP," ∴ ∠APC=∠C=∠BAP,
由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,
∵ BC是圆O的直径，∴ ∠BAC="90°," ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,
∴ ∠C=∠APC=∠BAP=×90°=30°．          ………………………………9分
在Rt△ABC中，=, ∴ =．

略